Алексей Евгениевич в 1982 году окончил Минский ордена Трудового Красного Знамени государственный медицинский институт по специальности «лечебное дело». В 1982-1983 проходил интернатуру по специальности «анестезиология и реаниматология» на базе 9 ГКБ г. Минска. В период с 1983 по 1989 год работал врачом анестезиологом-реаниматологом 9-й ГКБ г. Минска, а затем в детском хирургическом центре 1-й ГКБ г. Минска. В 1989 поступил в очную аспирантуру при кафедре анестезиологии и реаниматологии детского возраста ЦОЛИУВ г. Москвы. В 1992 году закончил аспирантуру и успешно защитил кандидатскую диссертацию на тему «Обеспечение энергетических потребностей детей в экстремальных состояниях», в 1992 году ему была присуждена ученая степень кандидата медицинских наук. В январе 1993 года принят на работу ассистентом кафедры детской анестезиологии и реаниматологии БелМАПО. в 2000 году ему было присвоено ученое звание доцента по специальности «Клиническая медицина». В 2008 году перевелся на должность доцента вновь созданной кафедры анестезиологии и реаниматологии БГМУ. С января 2013 и по октябрь 2016 года работал в должности проректора по лечебной работе БГМУ. С декабря 2016 года трудился в должности заведующего кафедрой детской анестезиологии и реаниматологии.

Алексей Кулагин автор и соавтор 140 научных публикаций, в том числе 3-х практических руководств для врачей, 4-х справочников для практических врачей, «Избранных лекций по анестезиологии и реаниматологии детского возраста» и 49 учебно-методических пособий. Неоднократно награждался почетными грамотами БелМАПО, БГМУ, Министерства здравоохранения Республики Беларусь. Награжден юбилейной медалью «70 лет Победы в Великой отечественно войне 1941-1945 гг.». В мае 2016 г. награжден знаком «Отличник здравоохранения Республики Беларусь».

Алексей Евгениевич уделял большое внимание научно-исследовательской работе со студентами. Принимал активное участие в лечебной работе. Ежегодно осматривал до 2000 детей в ОИТР клинической базы и других лечебных учреждений столицы, а также республики. С его помощью широко внедрены в клиническую практику методы низкопотоковой и регионарной анестезии у детей. Основными направлениями его научной деятельности были повышение качества анестезиологического пособия у детей, интенсивная терапия гнойно-септических состояний.

Медицинская общественность страны глубоко скорбит в связи с кончиной Алексея Евгениевича Кулагина и выражает искренние соболезнования его родным, близким и коллегам.